<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet: ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,

                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) (Cmara Brasileira do 
          Livro, SP, Brasil)

 Giovanni Jnior, Jos Ruy
  A conquista da matemtica, 9 ano / Jos
Ruy Giovanni 
 Jnior, Benedicto Castrucci . -- Ed.
renovada. -- So Paulo : FTD, 2009. -- (Coleo a
 conquista da matemtica)

  Bibliografia.
  ISBN 978-85-322-7015-3 (aluno)
  ISBN 978-85-322-7016-0 (professor)

  1. Matemtica (Ensino fundamental)
I. Castrucci, 
 Benedicto. II. Ttulo. III. Srie.

<F->
 09-02364          CDD-372`.7
<F+>

<p>
          ndices para catlogo 
          sistemtico:

  1. Matemtica : Ensino fundamental 372`.7

<p>
                             III
 Jos Ruy Giovanni Jnior

  Licenciado em Matemtica pela Universidade de So Paulo (USP).
  Professor de Matemtica em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Mdio desde 1985.

 Benedicto Castrucci

  (Falecido em 2 jan. 1995)
  Bacharel e licenciado em Cincias Matemticas pela Universidade de So Paulo (USP).
  Foi professor de Matemtica da Pontifcia Universidade Catlica (PUC-SP) e da Universidade de So Paulo (USP).
  Foi professor de Matemtica em escolas pblicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Mdio.
<p>
<p>
                                V
 Apresentao

  Para que serve a Matemtica? Por que aprender todo
esse contedo de Matemtica na escola? Com certeza
essas so perguntas que um dia passaram ou vo passar
por sua cabea.
  A Matemtica est presente em nossas vidas, desde
uma simples contagem at os modernos e complexos
computadores. Ela ajuda a decidir se uma compra deve
ser paga  vista ou a prazo, a entender o movimento
da inflao e dos juros, a medir os ndices de pobreza
e riqueza de um pas, a entender e cuidar do meio
ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas
aplicaes na Arquitetura, na Arte e na agricultura.
  Mas, apesar de estar presente em tantos momentos
importantes da sua vida e da humanidade, pode parecer,
a princpio, que alguns temas da Matemtica no tm
aplicao imediata. Isso pode gerar em voc certo
desapontamento.
  Na verdade, a aplicao da Matemtica no cotidiano
ocorre como resultado do desenvolvimento e do
aprofundamento de certos conceitos nela presentes.
Como em todas as reas de estudo, para entender e fazer
Matemtica,  necessrio dedicao e estudo.
  Nesta coleo, apresentamos a voc as linhas mestras
desse processo com uma linguagem simples, mas sem
fugir ao rigor que a Matemtica exige.
  Vivemos hoje em um mundo em constante e rpida
transformao, e a Matemtica pode nos ajudar a entender
essas transformaes. Ficar  parte do conhecimento
matemtico , hoje, estar  margem das mudanas do
mundo. No  o que voc quer.
  Ento, vamos entender e fazer Matemtica!

<p>
                             VII
 Seu livro em Braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para 
voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu 
colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e 
tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s 
outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries 
substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, 
procurando fazer voc compreender o que elas representam.

  Dicas para estudar no seu livro em braille:

<R+>
 1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na 
primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille 
e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se 
localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver 
estudando com outros colegas.
 2 -- Quando voc encontrar o sinal _ e, depois dele, uma frase 
terminada pelo sinal _ saiba que se trata de uma explicao especial 
chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
 3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de 
algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" 
para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
 4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao 
grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a 
outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<R->

<p>
                              IX
<R+>
 Sumrio Geral

 Primeira Parte

 Unidade 1

 Noes Elementares de 
  Estatstica ::::::::::::: 1
 1 -- Organizando os 
  dados :::::::::::::::::::: 6  
 O que representa a 
  Estatstica ::::::::::::: 6  
 Como organizar os dados 
  em tabelas ::::::::::::::: 8 
 2 -- Estudando 
  grficos ::::::::::::::::: 22 
 Grficos de linhas :::::::: 23 
 Grficos de barras :::::::: 27 
 Grficos de setores ::::::: 33 
 3 -- Estudando mdias :::: 58 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 77 

<p>
 Unidade 2

 Estudando as Potncias e 
  suas Propriedades ::::::: 83 
 4 -- Potncia de um nmero 
  real com expoente 
  natural :::::::::::::::::: 85 
 Propriedades :::::::::::::: 94  
 Expoente zero ::::::::::::: 100 
 5 -- Potncia de um nmero 
  real com expoente inteiro 
  negativo ::::::::::::::::: 107 
 Propriedades das potncias 
  com expoentes inteiros ::: 117

 Segunda Parte 

 6 -- Transformando e 
  simplificando uma 
  expresso :::::::::::::::: 125 
 Tratando a informao 
  Interpretao de grfico 
  de linhas :::::::::::::::: 142 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 145
 
<p>
                              XI
 Unidade 3

 Calculando com 
  Radicais :::::::::::::::: 150 
 7 -- Raiz ensima de um 
  nmero real :::::::::::::: 154
 8 -- Radical aritmtico e 
  suas propriedades :::::::: 162 
 Propriedades :::::::::::::: 163 
 9 -- Simplificando 
  radicais: extrao de 
  fatores do radicando ::::: 175 
 10 -- Introduzindo um 
  fator externo no 
  radicando :::::::::::::::: 186 
 11 -- Adicionando 
  algebricamente dois ou 
  mais radicais :::::::::::: 189 
 12 -- Multiplicando 
  expresses com radicais de 
  mesmo ndice ::::::::::::: 199 
 Utilizando a propriedade 
  distributiva na 
  multiplicao de 
  radicais ::::::::::::::::: 204 
<p>
 13 -- Dividindo expresses 
  com radicais de mesmo 
  ndice ::::::::::::::::::: 209 
 14 -- Multiplicando e 
  dividindo expresses com 
  radicais de ndices 
  diferentes ::::::::::::::: 212 
 Reduo de dois ou mais 
  radicais ao mesmo 
  ndice ::::::::::::::::::: 212 
 Multiplicao e diviso de 
  radicais com ndices 
  diferentes ::::::::::::::: 215 
 15 -- Potenciao de uma 
  expresso com radicais ::: 217 
 Recordando os produtos 
  notveis ::::::::::::::::: 218 
 Resoluo de equaes 
  irracionais :::::::::::::: 223 
 16 -- Racionalizando 
  denominadores de uma 
  expresso fracionria :::: 226 
 17 -- Simplificando 
  expresses com 
  radicais ::::::::::::::::: 236 
 18 -- Potncias com 
  expoente racional :::::::: 239 
<p>
                            XIII
 Tratando a informao 
  O desvio padro ::::::::: 248 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 252 

 Terceira Parte

 Unidade 4

 Equaes do 2 Grau ::::: 259
 19 -- Equao do 2 grau 
  com uma incgnita :::::::: 262 
 Conhecendo a equao do 2 
  grau com uma incgnita ::: 266 
 Equao completa e equao 
  incompleta ::::::::::::::: 269 
 Escrevendo uma equao do 
  2 grau com uma incgnita 
  na sua forma reduzida :::: 274 
 20 -- Resolvendo equaes 
  incompletas do 2 
  grau ::::::::::::::::::::: 280 
 Resolvendo equaes da 
  forma ax2+bx=0 :::::::: 281 
 Resolvendo equaes da 
  forma ax2+c=0 ::::::::: 284 
<p>
 21 -- Resolvendo uma 
  equao completa do 2 
  grau com uma incgnita ::: 295 
 O processo do completamento 
  de quadrados ::::::::::::: 298
 Resolvendo uma equao do 
  2 grau pelo processo de al-Khowarizmi 
  (completando 
  quadrados) :::::::::::::: 306 
 O processo algbrico de 
  Bhaskara :::::::::::::::: 319 
 Frmula resolutiva ou 
  frmula de Bhaskara ::::: 324 
 22 -- Resolvendo 
  problemas :::::::::::::::: 340 
 A equao do 2 grau e a 
  Geometria ::::::::::::::: 350 
 23 -- Estudando as razes 
  de uma equao do 2 
  grau ::::::::::::::::::::: 361 
 24 -- Relacionando as 
  razes e os coeficientes 
  da equao 
  ax2+bx+c=0 :::::::::::: 367 
<p>
                              XV
 25 -- Escrevendo uma 
  equao do 2 grau quando 
  conhecemos as duas 
  razes ::::::::::::::::::: 376 
 26 -- Equaes 
  biquadradas :::::::::::::: 380 
 27 -- Equaes 
  irracionais :::::::::::::: 384 

 Quarta Parte

 28 -- Resolvendo sistemas 
  de equaes do 2 
  grau ::::::::::::::::::::: 391 
 Tratando a informao 
  Interpretao de 
  grficos e tabelas ::::::: 402 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 406 

 Unidade 5

 Funo Polinomial do 1 
  Grau :::::::::::::::::::: 415 
 29 -- Sistema de 
  coordenadas 
  cartesianas :::::::::::::: 416 
 Aplicaes do sistema 
  cartesiano ::::::::::::::: 420 
 30 -- A noo de 
  funo ::::::::::::::::::: 436 
 Domnio e imagem de uma 
  funo ::::::::::::::::::: 453 
 31 -- A funo polinomial 
  do 1 grau :::::::::::::: 457 
 32 -- Grfico da funo 
  polinomial do 1 grau no 
  plano cartesiano ::::::::: 466 
 Tratando a informao ::::: 474 
 33 -- Zero da funo 
  polinomial do 1 grau ::: 479 
 34 -- Analisando o grfico 
  de uma funo polinomial 
  do 1 grau :::::::::::::: 481 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 488 

 Unidade 6

 Funo Polinomial do 2 
  Grau (ou Funo 
  Quadrtica) :::::::::::: 493 
 35 -- Funo polinomial do 
  2 grau (ou funo 
  quadrtica) ::::::::::::: 494 
<p>
                            XVII
 36 -- Grfico da funo 
  quadrtica ::::::::::::::: 505 
 Como construir o grfico de 
  uma funo quadrtica no 
  plano cartesiano ::::::::: 511 
 37 -- Zeros da funo 
  polinomial do 2 grau ::: 517 
 38 -- Estudando a 
  concavidade da 
  parbola ::::::::::::::::: 524 
 39 -- Ponto de mnimo e 
  ponto de mximo :::::::::: 526

 Quinta Parte
 
 40 -- Analisando a funo 
  y=ax2+bx+c quanto ao 
  sinal :::::::::::::::::::: 531 
 Tratando a informao ::::: 546 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 548 

<p>
 Unidade 7

 Segmentos 
  Proporcionais ::::::::::: 551 
 41 -- Razo e 
  proporo :::::::::::::::: 553 
 42 -- Segmentos 
  proporcionais :::::::::::: 557 
 Quando quatro segmentos so 
  proporcionais :::::::::::: 568 
 43 -- Feixe de retas 
  paralelas :::::::::::::::: 571 
 Propriedade de um feixe de 
  retas paralelas :::::::::: 573 
 44 -- Teorema de 
  Tales ::::::::::::::::::: 577 
 45 -- Aplicaes do 
  teorema de Tales :::::::: 589 
 Teorema de Tales nos 
  tringulos ::::::::::::::: 589 
 Teorema da bissetriz interna 
  de um tringulo :::::::::: 599 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 605 
 
<p>
                             XIX
 Unidade 8

 Semelhana :::::::::::::::: 617
 46 -- Figuras 
  semelhantes :::::::::::::: 618 
 Encontrando semelhanas ::: 619 
 47 -- Polgonos 
  semelhantes :::::::::::::: 630
 Uma propriedade 
  importante ::::::::::::::: 641 

 Sexta Parte

 48 -- Tringulos 
  semelhantes :::::::::::::: 657 
 Propriedade ::::::::::::::: 661 
 Teorema fundamental da 
  semelhana de 
  tringulos ::::::::::::::: 672 
 Tratando a informao 
  A mediana ::::::::::::::: 690 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 696 

<p>
 Unidade 9

 Estudando as Relaes 
  Mtricas no Tringulo 
  Retngulo ::::::::::::::: 705 
 49 -- O teorema de 
  Pitgoras ::::::::::::::: 707 
 O tringulo retngulo dos 
  egpcios ::::::::::::::::: 710 
 O teorema de Pitgoras ::: 710 
 Aplicando o teorema de 
  Pitgoras nas construes 
  geomtricas :::::::::::::: 718 
 Uma outra demonstrao do 
  teorema de Pitgoras :::: 719 
 Duas aplicaes 
  importantes :::::::::::::: 731 
 50 -- As relaes mtricas 
  no tringulo retngulo ::: 739 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 760 

<p>
                             XXI
 Stima Parte

 Unidade 10

 Estudando as Relaes 
  Trigonomtricas nos 
  Tringulos :::::::::::::: 771  
 51 -- Relaes 
  trigonomtricas no 
  tringulo retngulo :::::: 773 
 Tabela de razes 
  trigonomtricas :::::::::: 792 
 Tabela importante ::::::::: 796 
 Resolvendo problemas no 
  tringulo retngulo :::::: 797 
 52 -- Estudando as 
  relaes trigonomtricas 
  em um tringulo 
  qualquer ::::::::::::::::: 820 
 Lei (ou teorema) dos 
  senos :::::::::::::::::::: 822 
 Lei (ou teorema) dos 
  cossenos ::::::::::::::::: 827 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 849 

<p>
 Unidade 11

 Estudando as reas das 
  Figuras Geomtricas 
  Planas :::::::::::::::::: 861 
 53 -- Calculando as reas 
  de algumas figuras 
  geomtricas :::::::::::::: 862 
 rea de uma regio 
  retangular (ou rea de 
  um retngulo) ::::::::::: 864  
 rea de uma regio quadrada 
  (ou rea de um 
  quadrado) ::::::::::::::: 870  
 rea de uma regio 
  triangular (ou rea de um 
  tringulo) :::::::::::::: 881 
 rea de uma regio limitada 
  por um paralelogramo (ou 
  rea do 
  paralelogramo) :::::::::: 888 
 rea de uma regio limitada 
  por um losango (ou rea 
  do losango) ::::::::::::: 890  
 rea de uma regio limitada 
  por um trapzio (ou rea 
  do trapzio) :::::::::::: 893 
<p>
                          XXIII
 54 -- Usando a malha 
  quadriculada para calcular 
  a rea de uma figura plana 
  qualquer ::::::::::::::::: 899 
 Tratando a informao 
  A moda :::::::::::::::::: 901 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 906 

 Oitava Parte

 Unidade 12

 Estudando a Circunferncia 
  e o Crculo ::::::::::::: 915 
 55 -- Calculando o 
  comprimento de uma 
  circunferncia ::::::::::: 917 
 Calculando o comprimento de 
  uma circunferncia ::::::: 918 
 56 -- Relaes mtricas na 
  circunferncia ::::::::::: 928 
 Relao entre cordas :::::: 928 
 Relao entre segmentos 
  secantes ::::::::::::::::: 929 
 Relao entre segmentos 
  secante e tangente ::::::: 930 
<p>
 57 -- Polgonos regulares 
  inscritos na 
  circunferncia ::::::::::: 936 
 Elementos de um polgono 
  regular inscrito ::::::::: 938 
 Propriedades :::::::::::::: 939 
 Relaes mtricas ::::::::: 943 
 rea de um polgono 
  regular :::::::::::::::::: 954 
 58 -- rea de regies 
  circulares ::::::::::::::: 958 
 Tratando a informao ::::: 974 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 976 

 Projeto: Investigando 
  alturas :::::::::::::::::: 988 
 Indicaes de leitura ::::: 1002
 Glossrio ::::::::::::::::: 1005

 Nona Parte
 
 Respostas ::::::::::::::::: 1017 
 Bibliografia :::::::::::::: 1147 
<R->

<p>
                             XXV
 Nota de transcrio:

  I. Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua 
Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em 
braille, das seguintes maneiras:

<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na 
parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, 
este ltimo sem sinal de nmero."

 Exemplo: #:d (trs quartos).

 B) utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256)  

 Exemplo: 34 (trs quartos).

<p>
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos `(5#bef`) ~

 Exemplos: #:d~5 (trs quartos sobre cinco).
<R->

  II. Ao longo do livro, smbolos como esse wr aparecem para indicar as conexes entre a Matemtica 
e os diversos temas e diferentes reas do conhecimento.

  Neste livro em braille, estas formas de representao sero 
aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.

<7>
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+1>
 Unidade 1

<R+>
 Noes Elementares de 
  Estatstica
<R->

  Quer conhecer a fauna brasileira?

<R+>
 Fauna brasileira (Total 
  estimado de espcie)
<R->

 Vertebrados
 Mamferos -- 600
 Aves -- 1.700
 Rpteis -- 390
 Anfbios -- 331
 Peixes -- 8.000

 Invertebrados
 Insetos -- mais de 30.000.000
 Outros invertebrados -- 30.000

<R+>
 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 2 fev. 2009.
<R->

  Quer saber a mdia de anos de estudo que os brasileiros tm?

<R+>
 _`[{grfico adaptado_`]
 Mdia de anos de estudo das pessoas com 7 anos ou mais de idade 
 Brasil (2002)

 7 anos -- 0,2
 8 anos -- 0,9
 9 anos -- 1,7
 10 anos -- 2,4
 11 anos -- 3,2
 12 anos -- 4,0
 13 anos -- 4,7
 14 anos -- 5,4
 15 anos -- 6,1
 16 anos -- 6,7
 17 anos -- 7,2
 18 anos -- 7,8
 19 anos -- 8,1
 20 a 24 anos -- 8,2
 25 ou mais -- 6,1
 _`[{fim do grfico_`]

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 28 jan. 2009.
<R->

<8>
<p>
 Mate a curiosidade

  Quais so os pases mais populosos do mundo?

<R+>
 _`[{grfico adaptado_`]
 Pases mais populosos (1980-2007)

 China
  1980 -- 22,4%
  1991 -- 21,5%
  2000 -- 20,8%
  2007 -- 19,8%
 ndia
  1980 -- 15,2%
  1991 -- 15,8%
  2000 -- 16,7%
  2007 -- 16,9%
 Estados Unidos
  1980 -- 5,1% 
  1991 -- 4,7%
  2000 -- 4,5%
  2007 -- 4,5%
<p>
 Indonsia
  1980 -- 3,3%
  1991 -- 3,5%
  2000 -- 3,7%
  2007 -- 3,5%
 Brasil
  1980 -- 2,7%
  1991 -- 2,7%
  2000 -- 2,8%
  2007 -- 2,8%
 _`[{fim do grfico_`]

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~,
  Acesso em: 29 jan. 2009.
<R->

  Os grficos e as tabelas trazem um sem-fim de informaes e esto em jornais, revistas, trabalhos cientficos...
  O levantamento dessas informaes e sua exposio em tabelas e grficos so feitos, em geral, de forma cientfica, utilizando um dos ramos da Matemtica -- a Estatstica.

<p>
  Quantas pessoas tem a sua famlia?
  Qual o nmero mdio de pessoas nas famlias brasileiras?

<R+>
 _`[{grfico adaptado_`]
 Nmero mdio de pessoas por famlia residentes em domiclios particulares 
 Brasil (1981-2006/2007) 

 1981 -- 4,3
 1990 -- 3,9
 2001 -- 3,3
 2006/2007 -- 3,2
 _`[Fim do grfico_`]

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~
  ibgeteenpesquisas~
  familia.html~, Acesso em: 
  2 fev. 2009.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<9>
<p>
 1 -- Organizando os dados

 O que representa a Estatstica

  Agora voc vai conhecer melhor o ramo da Matemtica chamado Estatstica.
  Veja algumas situaes em que a Estatstica  muito til.

 1- Para fazer projees.

 _`[{o professor diz_`]
  "Para estimar o nmero de habitantes que a Terra ter no ano 2050... primeiro, precisamos obter os dados sobre o crescimento da populao nos ltimos anos. Em seguida, organizar esses dados e, finalmente, analis-los para tirar uma concluso."

 2- Para conhecer necessidades.

 _`[{o professor diz_`]
  "As empresas se utilizam de pesquisas e dados estatsticos para lanar um novo produto."
<L>
<10>
<R+>
 3- Para conhecer opinies.
<R->

  Em uma pesquisa, para acompanhar a inteno de voto na eleio para prefeito de
uma cidade, por exemplo, inicialmente colhem-se os dados, ou seja, a inteno de
voto de um grupo da populao previamente escolhido. Em seguida, esses dados
devem ser organizados para, finalmente, ser submetidos a uma anlise.
  Considerando os primeiros votos apurados (dados organizados) em uma eleio, 
possvel fazer uma projeo dos resultados dessa eleio (anlise dos dados).

  A Estatstica trata do conjunto de mtodos utilizados para a obteno de dados, sua organizao em tabelas e grficos e sua anlise.

  A Estatstica, hoje, est presente em quase todas as atividades do ser humano. E no 
para menos: com base na anlise dos dados coletados e organizados,  possvel, em muitos
casos, prever determinadas tendncias que auxiliam a tomada de decises, permitindo
elaborar um planejamento mais adequado.
  Chegou a hora de organizar um grupo de dados em tabelas e construir grficos com
base nesses dados. Para isso, voc vai usar alguns contedos estudados anteriormente, tais
como: frao, porcentagem, proporcionalidade, ngulo central e sistema de coordenadas
cartesianas.

 Como organizar os dados em 
  tabelas

  Suponha que voc tenha reunido uma srie de informaes (dados) sobre determinado
assunto. O prximo passo  organizar essas informaes. Para isso, geralmente, utilizamos
tabelas de dados.
  Mas como organizar essas tabelas? Veja algumas situaes.
<L>
<R+>
 1- A classe de Dnis tem 40 alunos. Desses, 16 preferem voleibol, e 24 preferem futebol.
  Podemos construir uma tabela quanto  preferncia por esporte desse grupo.

 Para construir a tabela de preferncias, vamos seguir os passos:
 1 passo: Damos um ttulo  tabela que explique o tipo de informao que ela contm.
  Nesse caso, poderia ser: Nmero de alunos segundo a preferncia esportiva.
 2 passo: Escrevemos em cada coluna o tipo de informao que ela contm.
<R->

  Na 1 coluna, escrevemos voleibol e futebol.
  Na 2 coluna, escrevemos o nmero de pessoas que preferem cada esporte.
  Na 3 coluna, escrevemos a porcentagem do nmero de pessoas que escolheram cada esporte em relao ao nmero total de pessoas.

<11>
<R+>
 3 passo: Preenchemos as colunas com as informaes (dados) de que dispomos.
  Na coluna Porcentagem, basta calcular quantos por cento 24 e 16 representam
de 40, que  o total de alunos da classe de Dnis.
<R->

 _`[{o menino diz_`]
  "Na construo
de tabelas, os dados
devem ser espaados,
para que possam ser
analisados mais
facilmente."

 _`[{a menina diz_`]
  "Os traos
horizontais
tambm ajudam
a visualizao
da tabela."

<p>
<R+>
 _`[{tabela "Nmero de alunos segundo a preferncia esportiva (*)" adaptada em trs colunas_`]
 1 coluna: Esportes
 2 coluna: Nmero de alunos
 3 coluna: Porcentagem

 !::::::::::::::::::::::::
 l 1       _ 2 _ 3    _
 r:::::::::::w:::::w::::::::w
 l Voleibol _ 16 _ 40%  _
 r:::::::::::w:::::w::::::::w
 l Futebol  _ 24 _ 60%  _
 r:::::::::::w:::::w::::::::w
 l Total    _ 40 _ 100% _
 h:::::::::::j:::::j::::::::j

 (*) Os grficos e as tabelas que aparecem sem indicao de fonte neste livro foram elaborados a 
partir de dados fictcios criados pelo autor. 

 2- Na eleio para representante de classe, trs alunos se candidataram: Bruno, Juliana e
  Daniel. Na apurao dos votos, o professor colocou os trs nomes no quadro de giz e, a
cada voto, assinalava um trao ao lado do nome do candidato. A eleio teve o seguinte
resultado:

 Bruno: l l l l l l l l l l l
 Juliana: l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l
 Daniel: l l l l l l l l 
 Brancos: l l 
 Nulos: l

 Escrevemos o nmero de votos de cada candidato, o nmero de votos brancos e
nulos e o total de votos (para o clculo da porcentagem):

 Bruno: 11 votos
 Juliana: 20 votos
 Daniel: 8 votos
 Brancos: 2 votos
 Nulos: 1 voto
 Total: 42 votos

<p>
 Seguindo os passos, organizamos as informaes:
 1 passo: Escolhemos um ttulo: Resultado da eleio para representante de classe.
<12>
 2 passo: Escrevemos em cada coluna o tipo de informao que ela contm:

 _`[{tabela "Resultado da eleio para representante de classe" adaptada em trs colunas_`]
 1 coluna: Candidatos
 2 coluna: Nmero de votos
 3 coluna: Porcentagem 

 !:::::::::::::::
 l 1 _ 2 _ 3 _
 r:::::w:::::w:::::w
 l ... _ ... _ ... _
 h:::::j:::::j:::::j

 3 passo: Em seguida, preenchemos as colunas com os dados disponveis.

<p>
 Para melhor visualizao e anlise dos dados, devemos disp-los sempre
numa ordem conveniente. Neste caso, podemos dispor o nmero de votos na
ordem decrescente, ou seja, do mais votado para o menos votado.

 _`[{tabela "Resultado da eleio para representante de classe" adaptada em trs colunas_`]
 1 coluna: Candidatos
 2 coluna: Nmero de votos
 3 coluna: Porcentagem 

 !::::::::::::::::::::::::
 l 1      _ 2 _ 3     _
 r::::::::::w:::::w:::::::::w
 l Juliana _ 20 _ 47,6% _
 l Bruno   _ 11 _ 26,2% _
 l Daniel  _ 8  _ 19,0% _
 l Brancos _ 2  _ 4,8%  _
 l Nulos   _ 1  _ 2,4%  _
 l Total   _ 42 _ 100%  _
 h::::::::::j:::::j:::::::::j

 Note que a coluna Porcentagem pode ser til se ficar estabelecido, por exemplo,
que, para ser eleito no 1 turno, o candidato deve ter 50% mais um voto do total
dos votos (maioria absoluta). Caso isso no ocorra, haver 2 turno entre os dois
candidatos mais votados.
 Pela tabela, voc verifica que o candidato mais votado no atingiu maioria absoluta.
 Teramos, ento, 2 turno.
<R->

 wr Histria

 Um pouco da histria da 
  Estatstica

  As primeiras estatsticas foram realizadas pelos governantes das grandes civilizaes antigas, com a finalidade de registrar
os bens que o Estado possua.
  Trs sculos antes do nascimento de Cristo j se faziam censos, mas a palavra estatstica apareceu pela primeira vez
somente no sculo XVIII, sugerida pelo alemo Gottfried Achemmel (1719-1772).
  Alguns autores consideram quatro perodos na histria da Estatstica.
<R+>
 o Primeiro perodo: aps a queda do Imprio Romano, em 476, praticamente um milnio se passou sem que se conhecessem
estatsticas importantes, a no ser as realizadas em 758 e 762.
 o Segundo perodo: no sculo XVII, na Inglaterra, j se analisavam grupos de observaes numricas relativas  sade pblica,
a nascimentos e ao comrcio.
 o Terceiro perodo: o desenvolvimento do Clculo das Probabilidades, tambm no sculo XVII, veio dar nova dimenso  Estatstica.
Trs nomes importantes esto ligados a esse perodo: Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huygens (1629-1695).
 o Quarto perodo: tem incio uma dependncia dos diferentes ramos do saber relativamente  Estatstica. Dois nomes esto
associados a esse desenvolvimento: Ronald Fisher (1890-1962) e Karl Pearson (1857-1936).
<R->
  Hoje, a Estatstica ampliou seu campo de atuao e tornou-se fundamental em estudos de Biologia, Medicina, Fsica, Psicologia,
Indstria, Comrcio, Educao, entre outras.

<13>
 Exerccios

<R+>
1. Quantos alunos do sexo masculino e do
sexo feminino h na sua classe? Construa uma
tabela que indique a quantidade de alunos por
sexo, assim como a respectiva porcentagem em
relao ao nmero total de alunos.
 2. Um dado foi lanado 20 vezes, sendo obtidos
os seguintes pontos:

<p>
 1 5 6 2 2
 2 5 4 6 5
 2 3 3 1 6
 6 5 5 4 2

 Construa uma tabela que indique a quantidade
de vezes que cada nmero aparece, bem como
a respectiva porcentagem em relao ao nmero
total de vezes em que o dado foi lanado.

 3. Os dados a seguir se referem s notas obtidas
pelos alunos em uma prova de Matemtica.

<p>
 !:::::::::::::::::
 l Nmero  _ Nota _
 l do aluno _       _
 r::::::::::w:::::::w
 l 1       _ 8    _
 l 2       _ 4    _
 l 3       _ 5    _
 l 4       _ 1    _
 l 5       _ 3    _
 l 6       _ 7    _
 l 7       _ 5    _
 l 8       _ 3    _
 l 9       _ 3    _
 l 10      _ 4    _
 l 11      _ 9    _
 l 12      _ 7    _
 l 13      _ 3    _
 l 14      _ 2    _
 h::::::::::j:::::::j

<p>
 !:::::::::::::::::
 l Nmero  _ Nota _
 l do aluno _       _
 r::::::::::w:::::::w
 l 15      _ 2    _
 l 16      _ 5    _
 l 17      _ 6    _
 l 18      _ 6    _
 l 19      _ 8    _
 l 20      _ 7    _
 l 21      _ 4    _
 l 22      _ 7    _
 l 23      _ 5    _
 l 24      _ 4    _
 l 25      _ 7    _
 l 26      _ 9    _
 h::::::::::j:::::::j

 Construa uma tabela que indique as notas, a
quantidade de alunos que obtiveram cada nota
e a respectiva porcentagem em relao ao nmero
total de alunos.
  Em seguida, responda:
 a) Quantos alunos obtiveram notas menores que 5?
<p>
 b) Que porcentagem de alunos obtiveram nota igual ou superior a 5?
 c) Qual nota aparece com maior frequncia?

 4. Um grupo de alunos foi escolhido para representar
a escola no desfile de abertura de
uma olimpada esportiva. Pesquisando as idades
dos alunos escolhidos, obtiveram-se as seguintes
idades (em anos):

 15 11 13 14 14 15 14 16 13 12 14 13 15 12 13 14 15 12 14 14 13 15 14 11 12 15 13 15 16 15 14 12 15 13 13 14 12 14 15 14

 Construa uma tabela em que apaream as colunas
Idades, Nmero de alunos associados
a cada idade e Porcentagem em relao ao
nmero total de alunos.
<p>
 5. Observando-se a altura de 40 jogadores de basquete, foram obtidos os seguintes dados:
 o 11 tinham menos de 1,80 m de altura;
 o 22 tinham altura entre 1,80 m (inclusive) e 2,00 m de altura;
 o 7 tinham 2,00 m ou mais de altura.
 Construa uma tabela em que apaream as colunas
Alturas, Quantidade de atletas e Porcentagem
em relao ao nmero total de atletas.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<14>
 2 -- Estudando grficos

  Os grficos so um dos meios mais usados para representar e analisar dados. Existem
vrios tipos de grfico utilizados em Estatstica. Neste captulo, vamos trabalhar com os grficos 
de segmentos ou de linhas, os gr-
<p>
 ficos de barras e os grficos circulares ou de setores.

 Grficos de linhas

  Os grficos de linhas so utilizados, em geral, para mostrar a variao de algum fenmeno
durante certo tempo. Observe a situao a seguir.

 wr Geografia

<R+>
 _`[{grfico de linhas "Crescimento da populao brasileira no sculo XX", adaptado em forma de tabela_`]

<p>
 !::::::::::::::::::::::
 l eixo x _   eixo y     _
 r::::::::w::::::::::::::w
 l 1900  _ 18 milhes  _
 l 1910  _ 22 milhes  _
 l 1920  _ 30 milhes  _
 l 1930  _ 35 milhes  _
 l 1940  _ 41 milhes  _
 l 1950  _ 51 milhes  _
 l 1960  _ 70 milhes  _
 l 1970  _ 98 milhes  _
 l 1980  _ 120 milhes _
 l 1990  _ 145 milhes _
 l 2000  _ 170 milhes _
 h::::::::j::::::::::::::j

 Fonte de pesquisa: IBGE
<R->

  Para construir o grfico, utilizamos um sistema de coordenadas cartesianas:
<R+>
 o o eixo x (horizontal)  usado para mostrar a variao do tempo;
 o o eixo y (vertical)  usado para mostrar a variao da populao.
<R->
<p>
  Note que cada intervalo entre duas datas consecutivas assinaladas no eixo x corresponde
a 10 anos, e cada intervalo no eixo y corresponde a 10 milhes de habitantes.
<15>
  A escolha do intervalo entre duas datas depende do nmero de datas e do espao que
voc possui para represent-las. O importante  que, para intervalos iguais de anos, sejam
aplicadas medidas iguais. Usamos o mesmo raciocnio para o eixo y.
  Para construir o grfico, marcamos os pontos que correspondem  populao referente
a cada ano. Depois, unimos esses pontos por meio de segmentos. Assim, cada ponto do
grfico est associado a uma data (no eixo horizontal) e a uma populao (no eixo vertical).
   importante ressaltar que a populao encontrada ser sempre um nmero aproximado.
  Com base na anlise do grfico Crescimento da populao brasileira no sculo XX,
podemos fazer uma srie de consideraes. Vejamos, a seguir, algumas delas.

<R+>
 1 considerao: Qual era a populao aproximada em 1930?
  Pelo grfico, o ponto que est associado ao ano 1930 (no eixo horizontal) corresponde ao nmero 36.000.000 para a populao (no eixo vertical). Esse nmero  uma aproximao, pois no podemos garantir que a populao tenha crescido de modo uniforme de 1920 a 1940.
 2 considerao: Qual era a populao aproximada em 1990?
  Pelo grfico, o ponto que est associado ao ano 1990 corresponde ao nmero 145.000.000 para a populao.
 3 considerao: Em nmero de habitantes, o Brasil apresentou maior crescimento entre 1960 e 1980, ou entre 1980 e 2000?
  Pelo grfico, verificamos que, de 1960 a 1980, o crescimento foi de aproximadamente 50.000.000 habitantes, igual ao observado no perodo de 1980 a 2000.
<R->

 Grficos de barras

  Os grficos de barras so utilizados, em geral, para comparar dados ou informaes de mesma natureza. Veja o exemplo a seguir.
  A tabela mostra o nmero total de medalhas que o Brasil ganhou em Olimpadas, entre 1972 e 2008.

 wr Esportes

<R+>
 _`[{tabela "Nmero de medalhas conquistadas pelo Brasil em 
  Olimpadas (1972-2008)" adaptada em trs colunas_`]
<p>
 1 coluna: Ano
 2 coluna: Sede
 3 coluna: Nmero de medalhas

 !:::::::::::::::::::::::::::
 l  1  _      2      _ 3 _
 r:::::::w:::::::::::::::w:::::w
 l 1972 _ Munique      _ 2  _
 l 1976 _ Montreal     _ 2  _
 l 1980 _ Moscou       _ 2  _
 l 1984 _ Los Angeles _ 8  _
 l 1988 _ Seul         _ 6  _
 l 1992 _ Barcelona    _ 3  _
 l 1996 _ Atlanta      _ 15 _
 l 2000 _ Sydney       _ 12 _
 l 2004 _ Atenas       _ 10 _
 l 2008 _ Pequim       _ 15 _
 h:::::::j:::::::::::::::j:::::j

 Fontes: ~,www#a.folha.uol.com.~
  br~, e ~,www.quadrodemedalhas.~
  com~, Acesso em: 2 jul. 2007 e 22 out. 2008.
<R->

<16>
  Agora, vamos construir um grfico de barras com os dados da tabela. Observe os passos
a seguir.
<R+>
 1 passo: Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas, marcamos no eixo horizontal
segmentos de mesma medida (essa medida vai corresponder  largura das
barras), espaados igualmente entre si. No eixo vertical, marcamos o nmero
de medalhas.
 2 passo: Para cada ano, determinamos a altura da barra,
que vai corresponder ao nmero de medalhas
ganhas.
<R->

  As bases dos retngulos que formam as barras devem ter sempre a mesma medida.

<R+>
 _`[{grfico "Nmero de medalhas conquistadas pelo Brasil em 
  Olimpadas (1972-2008)" adaptado. No eixo horizontal esto os anos; no vertical, o nmero de medalhas_`]
<p>
 Legenda: 
 A -- Munique, 1972
 B -- Montreal, 1976
 C -- Moscou, 1980
 D -- Los Angeles, 1984
 E -- Seul, 1988 
 F -- Barcelona, 1992
 G -- Atlanta, 1996
 H -- Sydney, 2000
 I -- Atenas, 2004
 J -- Pequim, 2008
 
<F->
15_:::::::::::::::::::==:::::::==
   _                           
12_::::::::::::::::::::==    
10_:::::::::::::::::::::== 
 8_::::::::::==            
 6_:::::::::::==        
   _                  
 3_::::::::::::==      
 2_:==:==:==        
   _:gg:gg:gg:gg:gg:gg:gg:gg:gg:gg
     A B C D E F G H I J 

Grfico construdo com base nos dados da tabela da pgina 27.
<R->
<F+>

<p>
  Com base no grfico, voc pode levantar questes como:

 _`[{o menino diz_`]
  "Em 1996, o nmero de medalhas conquistadas pelo Brasil foi maior que nos anos anteriores."

 _`[{a professora diz_`]
  "H algum motivo, fora do mbito esportivo, que justifique esse fato?"

  Ou, ento, pesquisar para satisfazer curiosidades do tipo:

 _`[{o menino diz_`]
  "Em quais esportes o Brasil obteve medalhas na olimpada de 1988?"

<17>
  As barras desse grfico tambm podem ser representadas por desenhos sugestivos. 
Nesse caso, dizemos que o grfico  pictrico.

<p>
<R+>
 _`[{grfico pictrico "Nmero de medalhas conquistadas pelo 
  Brasil em Olimpadas `(1972-
  -2008`)" adaptado. No eixo horizontal esto os anos; no vertical, o nmero de medalhas_`]
 Legenda:
 A -- Munique, 1972
 B -- Montreal, 1976
 C -- Moscou, 1980
 D -- Los Angeles, 1984
 E -- Seul, 1988 
 F -- Barcelona, 1992
 G -- Atlanta, 1996
 H -- Sydney, 2000
 I -- Atenas, 2004
 J -- Pequim, 2008

 Cada o representa 1 medalha.

<p>
<F->
15r:::::::::::::::::::o:::::::o
   l                   o       o
   l                   o       o
12r:::::::::::::::::::o:o    o
   l                   o o    o
10r:::::::::::::::::::o:o:o o
   l                   o o o o 
 8r::::::::::o       o o o o  
   l          o       o o o o  
 6r::::::::::o:o    o o o o 
   l          o o    o o o o
   l          o o    o o o o
 3r::::::::::o:o:o o o o o  
 2r:o:o:o o o o o o o o 
   r:o:o:o:o:o:o:o:o:o:o
     A B C D E F G H I J 

Grfico construdo com base nos dados da tabela da pgina 27.
<R->
<F+>

 Grficos de setores

  Os grficos de setores ou circulares so utilizados para representar as relaes entre as
partes de um todo. Em geral, usamos as taxas percentuais para relacionar as partes.
  Veja, como exemplo, a rea que cada regio do Brasil ocupa. Com base nessas informaes,
vamos construir um grfico circular que represente esses dados.

 wr Geografia

<R+>
 _`[{tabela "rea de cada regio brasileira" adaptada em trs colunas: Regio -- rea (em km) -- Taxa percentual de ocupao_`]
 Norte -- 3.853.327,229 -- 45%
 Nordeste -- 1.554.257,004 -- 18%
 Sudeste -- 924.511,292 -- 11%
 Sul -- 576.409,569 -- 7%
 Centro-Oeste -- 1.606.371,505 -- 19%
 Brasil -- 8.514.876,599 -- 100%

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, 
  Acesso em: 15 jan. 2009.

<18>
<p>
 1 passo: Trace uma circunferncia de raio qualquer e considere o crculo determinado por ela.
 2 passo: Lembrando que o ngulo central correspondente ao arco de uma volta tem
360 e corresponde a 100%, calculamos as medidas dos ngulos centrais
relativos  taxa percentual de cada regio.

 o Regio Norte -- 45% de 360=162
 o Regio Nordeste -- 18% de 360^=65
 o Regio Sudeste -- 11% de 360^=40
 o Regio Sul -- 7% de 360^=25
 o Regio Centro-Oeste -- 19% de 360^=68

 3 passo: Usando um transferidor, assinalamos no crculo construdo _`[no adaptado_`] o ngulo correspondente a cada regio.

 162 -- Norte -- 45%
 65 -- Nordeste -- 18%
 40 -- Sudeste -- 11
 25 -- Sul -- 7%
 68 -- Centro-Oeste -- 19%
<R->

  Note que a soma das taxas percentuais d 100% (o todo) e que a soma das medidas dos ngulos centrais d 360 (que tambm  o todo).
 
<R+>
 4 passo: Utilizando legendas, representamos o grfico da seguinte maneira:

 _`[Grfico no representado_`]
<R->

<19>
  Veja de que outra forma podemos representar graficamente os dados da tabela:

<R+>
 _`[{mapa do Brasil "Taxa percentual de ocupao de cada regio brasileira" dividido em regies apresentando os seguintes dados: 
<p>
  Norte 45%, Nordeste 18%, Centro-Oeste 19%, Sudeste 11% e Sul 7%_`]

 Mapa construdo com base nos dados da tabela da pgina 34.

 Exerccios

 1. A eficincia de um fogo de cozinha pode
ser analisada em relao ao tipo de energia que
ele utiliza. O grfico mostra a eficincia de diferentes
tipos de fogo.

<p>
 _`[{grfico de barras "Eficincia de alguns tipos de fogo" adaptado. Eixo vertical: Eficincia (em %); Eixo horizontal: tipos de fogo_`]
 Legenda: 
 fl -- foges a lenha
 fc -- foges a carvo
 fq -- foges a querosene
 fg -- foges a gs
 fe -- foges eltricos

<F->
70 l
60 r::::::::::::::::::==
51 r::::::::::::::==  
49 r::::::::::==    
30 r::::::==      
29 r::==        
20 l          
10 l           
0  v------------  
       fl  fc  fq  fg  fe  
<F+>

 a) Qual  o tipo mais eficiente de fogo de cozinha? E o menos eficiente?
 b) Quais tipos de fogo mostram 50% ou mais de eficincia?
<L>
 2. O grfico mostra a evoluo das vendas de
dois produtos, A e B, nos seis bimestres de 2010.

 _`[Grfico adaptado_`]
 Evoluo das vendas dos produtos A e B em mil unidades

 Produto A
 janeiro/fevereiro -- 40
 maro/abril -- 40
 maio/junho -- 55
 julho/agosto -- 45
 setembro/outubro -- 45
 novembro/dezembro -- 20

 Produto B
 janeiro/fevereiro -- 10
 maro/abril -- 30
 maio/junho -- 30
 julho/agosto -- 40
 setembro/outubro -- 55
 novembro/dezembro -- 35
 _`[{fim do grfico_`]

<p>
 a) Quantas unidades do produto B foram vendidas em julho e agosto?
 b) Em que bimestre a venda do produto A foi de 20.000 unidades?
 c) Qual o ndice de vendas mais baixo do produto B?
 d) O nmero de unidades vendidas do produto A foi igual ao nmero de unidades vendidas do produto B em algum bimestre?

<20>
 3. Em um curso de ingls, a distribuio das idades dos alunos  dada pelo grfico.

<p>
 Faixa etria dos alunos do curso de ingls

<F->
n.o de
alunos

5 r:::::==::::::::::::::==
4 r:==                
3 r:::::==          
2 r:::::::::::==  
1 r:::::::==    
---v-----------  
0 l 16 17 18 19 20 21 idade 
<F+>

 a) Quantos alunos tm, no mnimo, 19 anos? 
 b) Qual o total de alunos do curso de ingls?

 4. No Exame Nacional do Ensino Mdio
(Enem) de 2004, foi apresentado o grfico com
a variao da distribuio da Populao Economicamente
Ativa (PEA) a seguir:

<p>
 _`[{grfico "Distribuio por setores de atividade (em %) da PEA brasileira em diferentes dcadas" adaptado na forma de tabela em quatro colunas_`]
 1 coluna: ano 
 2 coluna: Agropecuria
 3 coluna: Indstria
 4 coluna: Comrcio e servios

 !::::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2 _ 3 _ 4 _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 1940 _ 70 _ 10 _ 20 _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 1960 _ 60 _ 20 _ 30 _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 1980 _ 30 _ 26 _ 45 _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l 2000 _ 20 _ 18 _ 60 _
 h:::::::j:::::j:::::j:::::j

 Fonte: IBGE.

 Analisando o grfico, percebemos que as
transformaes socioeconmicas ocorridas
no sculo XX, no Brasil, mudaram a porcentagem
dos postos de trabalho distribudos
pelos setores de atividade (em %) ao longo
das dcadas.
 a) Qual o setor da PEA brasileira que s mostrou crescimento ao longo dessas dcadas?
 b) Um setor da PEA brasileira teve queda contnua ao longo dessas dcadas. Qual foi esse setor?

 5. Responda no caderno.
  (Saresp) Um terreno foi dividido em quatro partes,
de modo que 25% so para a construo da
casa, 50% para o pomar, 20% para a horta, e o
restante para o jardim. A representao grfica
que corresponde a essa diviso :

<p>
 _`[{representaes adaptadas com legenda_`]
 j -- jardim
 p -- pomar
 c -- casa
 h -- horta

 a)
 !::::::::::::
 l j _ p _ c _ h _
 h:::j:::j:::j:::j

 b) 
 !::::::::::::
 l p _ c _ j _ h _
 h:::j:::j:::j:::j

 c)
 !::::::::::::
 l p _ j _ h _ c _
 h:::j:::j:::j:::j

 d) 
 !::::::::::::
 l p _ c _ h _ j _
 h:::j:::j:::j:::j

<p>
 6. O Departamento de Recursos Humanos de
uma empresa realizou uma pesquisa para saber
a preferncia dos funcionrios em relao
 bebida que deveria ser servida no lanche. Observe
o resultado no grfico:

 _`[{grfico adaptado_`]
 Preferncia dos funcionrios 

 Bebidas
 Caf -- 40%
 Leite -- 10%
 Ch -- 30%
 Sem preferncia -- 20%
 _`[{fim do grfico_`]

 Sabendo que a empresa possui 80 empregados, responda:
 a) Quantos prefeririam o caf?
 b) Quantos prefririam o ch?
 c) Qual bebida teve a menor preferncia?
 d) Quantos no manifestaram preferncia por qualquer bebida?

<21>
 7. As ex-alunas de uma escola se encontraram
em uma festa comemorativa dos 10 anos
de formatura do Ensino Mdio. Vrias delas
haviam se casado e tido filhos. A distribuio
das ex-alunas, de acordo com a quantidade de
filhos,  mostrada no grfico a seguir:

 _`[{grfico de barras "Quantidade de filhos das ex-alunas" adaptado. Eixo vertical: Nmero de ex-alunas; Eixo horizontal: Nmero de filhos_`]
 Legenda:
 sf -- sem filhos
 1 -- 1 filho
 2 -- 2 filhos
 3 -- 3 filhos
 4 -- 4 filhos ou mais

<F->
8 r:::::==
6 r:==  
4 r:::::==
2 r:::::::==::==
   v-----------
     sf  1  2  3  4 ou mais 
<F+>
<L>
 De acordo com o grfico, responda:
 a) Quantas ex-alunas participaram do encontro?
 b) Quantas delas tm apenas um filho?
 c) O nmero de ex-alunas sem filhos representa quantos por cento do total de ex-alunas que participaram da reunio?

 8. O nmero de ligaes telefnicas de uma
empresa, ms a ms, no ano 2010, foi representado
em um grfico.

<p>
 _`[Grfico adaptado_`]
 Ligaes telefnicas por ms (2010)

 !::::::::::::::::::::::
 l Ms      _ Ligaes _
 r:::::::::::w:::::::::::w
 l janeiro   _ 1.000    _
 l fevereiro _ 1.200    _
 l maro     _ 1.250    _
 l abril     _ 1.300    _
 l maio      _ 1.350    _
 l junho     _ 1.220    _
 l julho     _ 1.200    _
 l agosto    _ 1.100    _
 l setembro  _ 1.220    _
 l outubro   _ 1.200    _
 l novembro  _ 1.300    _
 l dezembro  _ 1.500    _
 h:::::::::::j:::::::::::j

 Com base nesse grfico, qual a quantidade de
meses em que o nmero de ligaes foi maior
ou igual a 1.200 e menor ou igual a 1.300?

<p>
 9. No colgio em que estudo, h um coral dos
alunos. Foi feito um levantamento sobre a idade,
em anos, dos alunos que fazem parte do coral
e obteve-se a tabela a seguir.

 !:::::::::::::::::::::
 l Idade _ Nmeros de _
 l        _   alunos    _
 r::::::::w:::::::::::::w
 l 14    _ 4          _
 r::::::::w:::::::::::::w
 l 15    _ 12         _
 r::::::::w:::::::::::::w
 l 16    _ 8          _
 r::::::::w:::::::::::::w
 l 17    _ 1          _
 h::::::::j:::::::::::::j

 Usando um diagrama de barras, construa um
grfico com os dados dessa tabela. No se esquea
de dar um ttulo para o grfico que voc fez.

<p>
 10. Observe a tabela publicada no boletim de
uma escola de informtica para mostrar o crescimento
do nmero de mulheres matriculadas em
seus cursos

 Mulheres matriculadas no curso de informtica

 !:::::::::::::::::::
 l Ano  _ Nmero de _
 l       _ matrculas _
 r:::::::w::::::::::::w
 l 2002 _ 10        _
 r:::::::w::::::::::::w
 l 2003 _ 15        _
 r:::::::w::::::::::::w
 l 2004 _ 30        _
 r:::::::w::::::::::::w
 l 2005 _ 40        _
 r:::::::w::::::::::::w
 l 2006 _ 60        _
 h:::::::j::::::::::::j

 De acordo com as informaes contidas na tabela,
construa um grfico de linhas.

 11. Uma pesquisa realizada com 1.200 alunos
de uma escola revelou as atividades esportivas
que eles gostariam de praticar. O resultado
obtido est na tabela a seguir.

 Preferncia esportiva dos alunos

 !::::::::::::::::::::::::::
 l Atividade   _ Nmero de _
 l   esportiva  _   alunos   _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l Voleibol    _ 600       _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l Basquetebol _ 200       _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l Futebol     _ 100       _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l Natao     _ 50        _
 r::::::::::::::w::::::::::::w
 l Outros      _ 250       _
 h::::::::::::::j::::::::::::j

 Com base nessa tabela, construa um grfico de setores.

<22>
 Brasil Real

 wr Economia

 1. O grfico mostra o crescimento
aproximado das exportaes de flores
e plantas ornamentais brasileiras de 1999 a
2004 e tambm uma previso para 2007.

<p>
 _`[{grfico "Cresce a exportao de flores" adaptado em forma de tabela em duas colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: Exportao (em US$ milhes)
 2 coluna: Anos

 !::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2         _
 r:::::::w:::::::::::::w
 l 13   _ 1999       _
 l 11   _ 2000       _
 l 13   _ 2001       _
 l 15   _ 2002       _
 l 14   _ 2003       _
 l 23,5 _ 2004       _
 l 40   _ (*) 2007 _
 h:::::::j:::::::::::::j

 (*) Estimativa

 Fontes: Secex/Ibraflor e Sebrae/Agronegcios.

<p>
 Analisando o grfico, responda: 
 a) Qual foi o aumento nas exportaes entre 2000 e 2001?
 b) Qual era a meta a ser atingida pelas exportaes em 2007?

 wr Esportes 

 2. A participao das atletas
brasileiras nos Jogos Olmpicos tem aumentado
de modo significativo nos ltimos anos,
como nos mostra a tabela.

<p>
 _`[Tabela "Participao feminina brasileira nos jogos olmpicos" adaptada em trs colunas_`]
 1 coluna: Ano
 2 coluna: Local
 3 coluna: Nmero de Participantes

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l  1  _       2     _ 3  _
 r:::::::w:::::::::::::::w::::::w
 l 1984 _ Los Angeles _ 22  _
 l 1988 _ Seul         _ 35  _
 l 1992 _ Barcelona    _ 51  _
 l 1996 _ Atlanta      _ 66  _
 l 2000 _ Sydney       _ 94  _
 l 2004 _ Atenas       _ 122 _
 l 2008 _ Pequim       _ 133 _
 h:::::::j:::::::::::::::j::::::j

 Fonte: ~,www.cob.org.br~,
  Acesso em: 26 jan. 2009.

 Usando um grfico de barras, reproduza graficamente esse fato.

 wr Esportes 

 3. Em 2007, os Jogos Pan-Americanos
foram realizados na cidade do Rio de Janeiro.
Cerca de 5.500 atletas disputaram 34 modalidades, e o 
  Brasil teve o seu melhor desempenho
na histria dos Jogos, com 54 medalhas de ouro,
40 de prata e 67 de bronze. A tabela mostra o
nmero total de medalhas que o Brasil ganhou
em jogos Pan-Americanos de 1987 a 2007.
<R->

 Rio 2007
  Os Jogos Pan-Americanos so disputados por atletas das 
 Amricas a cada quatro anos.

<R+>
 _`[Tabela "Nmero de medalhas brasileiras em Jogos Pan-Americanos (1987-2007)" adaptada, obedecendo a seguinte sequncia: Ano -- Sede dos Jogos -- Nmero total de medalhas_`]
<p>
 1987 -- Indianpolis (Estados Unidos) -- 61
 1991 -- Havana (Cuba) -- 79
 1995 -- Mar del Plata 
  (Argentina) -- 82
 1999 -- Winnipeg (Canad) -- 101
 2003 -- Santo Domingo 
  (Repblica Dominicana) -- 123
 2007 -- Rio de Janeiro 
  (Brasil) -- 161 
 
 Fonte: ~,www.cob.org.br~,
  Acesso em: 26 jan. 2009.

 a) Construa um grfico de linhas mostrando a evoluo do nmero de medalhas obtidas pelo Brasil em Pan-Americanos de 1987 a 2007.
 b) Construa um grfico de setores mostrando a quantidade de medalhas que o Brasil ganhou em Pan-Americanos de 1987 a 2007.
<p>
 c) Qual dos dois grficos voc considera mais conveniente para analisar os dados anteriores?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<23>
 3 -- Estudando mdias

  Quando pretendemos estudar um fenmeno estatstico, recorremos a certos parmetros
que podem nos ajudar a compreender a distribuio dos dados relativos a esse fenmeno.
  Neste captulo, vamos estudar a mdia aritmtica.
  Veja as situaes a seguir.

<R+>
 1- As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete so: 25 anos, 27 anos,
22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual  a idade mdia dos jogadores titulares dessa equipe?
  Para resolver esse problema, devemos fazer:

<p>
 ?25+27+22+30+31*5=1355=
  =27

 Ento, a idade mdia dos jogadores titulares dessa equipe  27 anos.
 O nmero 27  chamado mdia aritmtica dos nmeros 25, 27, 22, 30 e 31. Assim, podemos escrever:
<R->

  A mdia aritmtica de *n* nmeros representa a soma de todos os nmeros dividida por *n*.

<R+>
 2- As idades, em anos, dos 10 diretores do clube da Vila 
  Adalgisa so:

 27 -- 30 -- 30 -- 32 -- 30 -- 32 -- 30 -- 27 -- 30 -- 32

 Qual  a idade mdia dos membros da diretoria desse clube?
  Note que o valor 27 se repete 2 vezes; o valor 30 se repete 5 vezes; o valor 32 se repete 3 vezes.
  A mdia das idades pode ser calculada assim:

 ?272+305+323*?2+5+3*=
  =?54+150+96*10=30010=30

 Ento, a idade mdia dos membros da diretoria  30 anos.
 O nmero 30 assim obtido  chamado mdia aritmtica.

 3- Paulo recebeu suas notas de Matemtica do 2 bimestre.
<R->

 _`[Paulo diz_`]
  "As minhas notas em matemtica, no 2 bimestre, foram estas."

 1 Prova: 6,0
 Trabalho de pesquisa: 7,0
 2 prova: 5,0

 _`[Paulo diz_`]
  "Qual vai ser a minha mdia no bimestre?"

<24>
<p>
<R+>
 Para responder a essa questo, devemos levar em considerao dois aspectos:
 o O professor no atribui pesos diferentes para as notas.
  Nesse caso, pode-se calcular a mdia do aluno adicionando-se as trs notas e dividindo-se o resultado por 3.

 ?6,0+7,0+5,0*3=183=6,0
 
 O nmero 6,0 obtido  chamado mdia aritmtica simples dos nmeros 6,0; 7,0; 5,0.

 o O professor atribui pesos diferentes para cada nota, conforme o seguinte critrio:
a nota da 1 prova tem peso 3; a nota do trabalho de pesquisa tem peso 2; a nota
da 2 prova tem peso 5.
  Nesse caso, a mdia do aluno  calculada assim:

<p>
 ?6,03+7,02+5,05*?3+2+
  +5*=?18+14+25*10=5710=
  =5,7

 Portanto, Paulo teve mdia 5,7.

 Nesse caso, o nmero 5,7  chamado mdia aritmtica ponderada dos nmeros 6,0; 7,0; 5,0.
  Analisando a situao proposta, observamos que a mdia das notas do Paulo pode
ser diferente, embora as notas sejam as mesmas, isto , a mdia do Paulo depende
das regras estabelecidas para o seu clculo.

 A mdia aritmtica simples  uma medida de tendncia central muito utilizada na Estatstica.

 Exerccios

 1. Uma livraria vendeu a seguinte quantidade
de livros de literatura durante certa semana.

<p>
 Vendas da semana 

 !::::::::::::::::
 l 2 feira _ 13 _
 r:::::::::::w:::::w
 l 3 feira _ 23 _
 r:::::::::::w:::::w
 l 4 feira _ 22 _
 r:::::::::::w:::::w
 l 5 feira _ 27 _
 r:::::::::::w:::::w
 l 6 feira _ 22 _
 r:::::::::::w:::::w
 l Sbado   _ 25 _
 h:::::::::::j:::::j

 Qual foi a mdia diria de livros vendidos durante essa semana?

 2. Em um torneio de basquete, uma equipe
marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e
103 pontos nas 4 partidas que disputou na
1 fase. Qual a mdia de pontos que essa equipe
marcou nessa fase do torneio?
<p>
 3. Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada
uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto
ela pagou, em mdia, por caneta?
 4. Encontre a mdia de altura de uma equipe
de basquete, sabendo que as alturas dos jogadores so:

 1,98 m -- 2,02 m -- 2,08 m -- 1,92 m -- 1,95 m

<25>
 5. Uma indstria produz certo produto. Vendeu
3.500 unidades desse produto por 30 reais cada
um e 8.500 unidades por 24 reais cada um. Qual
foi o preo mdio, por unidade, desse produto?
 6. Em uma empresa com 20 funcionrios, a
distribuio dos salrios est representada na
tabela a seguir.

<p>
 Salrio dos funcionrios

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l Nmero de   _ Salrio     _
 l funcionrios _ (em reais) _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 12          _ 800         _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 5           _ 1.200       _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 3           _ 2.000       _
 h::::::::::::::j::::::::::::::j

 Qual  o salrio mdio dos empregados dessa
empresa?
 7. Um colgio tem 8 professores e suas idades
so: 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos,
30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade mdia
dos professores desse colgio?
 8. Preparamos um refresco com 8 copos de
gua mineral e 2 copos de groselha. Se o copo
de gua mineral custa 80 centavos e o copo de
groselha custa 130 cen-
<p>
  tavos, qual  o custo de
cada copo de refresco?
 9. Em uma classe de 35 alunos h 22 homens
e 13 mulheres. Na prova de Matemtica, a nota
mdia dos homens foi 4,8, e a nota mdia das
mulheres foi 4,0. Qual foi, aproximadamente, a
nota mdia da classe?
 10. O IDH de uma regio  apurado calculando-se 
a mdia aritmtica de trs nmeros,
que expressam a longevidade, a renda *per capita*
e o ndice de educao dessa regio. Em
determinada regio, a longevidade  expressa
pelo nmero 0,551; a renda *per capita*, pelo nmero
0,402 e o ndice de educao, pelo nmero
x. Se o IDH dessa regio  0,507, qual  o valor de x?
<R->

<p>
 Desafio!

  Convide um colega e, juntos, resolvam o teste a seguir, apresentado em uma das provas do 
 Enem.

  (Enem) Um sistema de radar  programado para registrar automaticamente a velocidade de todos
os veculos trafegando por uma avenida, onde passam em mdia 300 veculos por hora, sendo
55 km/h a mxima velocidade permitida. Um levantamento estatstico dos registros do radar permitiu
a elaborao da distribuio percentual de veculos de acordo com sua velocidade aproximada.

<p>
<R+>
 _`[{grfico adaptado em forma de tabela_`]
<R->

 !:::::::::::::::::::::::::
 l veculos  _ velocidades  _
 l (em %) _ (em km/h) _
 w:::::::::::w::::::::::::::w
 l 5        _ 20          _
 l 15       _ 30          _
 l 30       _ 40          _
 l 40       _ 50          _
 l 6        _ 60          _
 l 3        _ 70          _
 l 1        _ 80          _
 h:::::::::::j::::::::::::::j

  A velocidade mdia dos veculos que trafegam nessa avenida :
 a) 35 km/h 
 b) 44 km/h 
 c) 55 km/h 
 d) 76 km/h 
 e) 85 km/h

<26>
<p>
 Brasil Real

 wr Geografia
  Sade

<R+>
 A alimentao muda as medidas dos brasileiros,
que se aproximam da altura da populao
dos pases ricos
<R->
 
  Essa afirmao  parte da matria publicada na revista *Veja*. Leia um trecho dessa matria.

  O brasileiro est mudando a olhos vistos. Em quinze anos, a estatura mdia da
populao no Brasil aumentou 4 centmetros -- 2,5 centmetros acima do esperado
pelos especialistas em crescimento. Ao menos nas camadas sociais mais favorecidas,
os adolescentes de hoje parecem gigantes desengonados perto de seus
avs e mesmo dos pais, quase sempre mais baixos. Esses jovens, com padres de
alimentao e sade iguais aos do Primeiro Mundo, esto crescendo mais do que
a mdia dos brasileiros, que j  elevadssima. Os ps e as mos, maiores a cada
gerao, acompanham essa tendncia.

<R+>
 FRANA, Valria. *Veja*. So Paulo: Abril, ano 29, n. 29, 17 jul. 1996.
<R->

  O lado negativo, aponta o artigo,  que o brasileiro no se limita ao crescimento vertical -- ele
tambm est aumentando de tamanho nas laterais, devido ao consumo excessivo de calorias.
  Comer mais no significa comer melhor, continua a matria, sendo que a carne continua
fora do cardpio da maioria da populao. O consumo de leo e margarina por pessoa duplicou
nas ltimas trs dcadas, mas o de carne e ovos cresceu menos de 1%. A explicao  simples:
pelo preo de 1 quilo de carne pode-se comprar oito pacotes de bolacha ou de macarro.  por
isso que, no mesmo perodo, o nmero de obesos entre os 30% mais pobres da populao aumentou
quatro vezes -- o dobro da incidncia entre os 30% mais ricos.

  Alm da balana, os novos hbitos
alimentares do brasileiro podem ser
constatados na cadeira do dentista.
  As comidas industrializadas (como o iogurte
ou sucos industrializados) so mais macias e
pastosas do que os vegetais ou as frutas, o
que diminui o esforo na mastigao.
  A boca, como qualquer parte do corpo,
fica flcida se no se exercitar.  o que est
acontecendo com uma gerao inteira.
  As dimenses dos ossos tambm
diminuram. O maxilar ficou menos
proeminente e a arcada dentria, menor.
  Na histria da evoluo, o ser humano
chegou a ter quatro molares. Na arcada
dentria atual no h lugar sequer para
o dente do siso, o terceiro molar, que
normalmente desponta aos 16 anos.

<27>
  Analise os infogrficos apresentados a seguir.

<R+>
 De que tamanho ficaro as 
  crianas?
<R->

  Aprenda a calcular, aproximadamente, a altura que seus filhos tero na idade adulta (em metros)

<F->
 1,75          
      1,65   
       ==    
            
            
            
            
---------     
 Pai   Me  

<p>
 1,80  
     ou
        1,66
         
         
         
         
         
-----------
 Filho   Filha
<F+>

<R+>
 1 Passo:
 Some a altura do pai  altura da me e divida por dois.

 2 Passo:
 A partir da altura mdia dos pais, some 10 cm se a criana for menino ou subtraia 4 cm se a criana for menina.

 Filho
 ?1,75+1,65*2+10

 Filha
 ?1,75+1,65*2-4

 Obs.: Essa regra vale para um casal em que a mdia de idade entre o homem e a mulher  de 30 anos. Se fosse de 20 anos, os valores mudariam para 9 cm a mais no caso do menino e 3 cm a menos para a menina.

 Fonte: FRANA, Valria. 
  Gerao mutante. *Veja*. So Paulo: Abril, ano 29, n. 29, 17 jul. 1996.
<R->

 O brasileiro est ficando...

 Mais alto...

<R+>
 _`[{infograma adaptado_`]
 Altura final mdia do homem, por ano de nascimento (em metros)
<R->
 
(*) Projeo

 1952 -- 1,68
 1960 -- 1,69
 1975 (*) -- 1,71
 1980 (*) -- 1,73 
 1990 (*) -- 1,75
<L>
 ... Com os ps maiores...

 Nmero mdio de calado masculino

 1965 -- 39
 1990 -- 41,5

 ... Mais gordo...

 Mulheres adultas obesas (em %)

<F->
        9,6
           
         
 5,7    
       
       
---------
 1974  1989
<F+>

<p>
 ... E com a pele mais escura...

<R+>
 _`[{infograma adaptado_`]
 Negros e pardos na populao brasileira (em %)

 1940 -- 36
 1950 -- 37
 1960 -- 38
 1980 -- 44
 1990 -- 44

 Fonte: FRANA, Valria. 
  Gerao mutante. *Veja*. So Paulo: Abril, ano 29, n. 29, 17 jul. 1996.
<R->

  Com base nos infogrficos apresentados, resolva as questes a seguir.
<R+>
 1. Mantendo-se o ritmo de crescimento verificado de 1980 a 1990, qual dever ser a altura mdia do homem brasileiro adulto no ano 2000?
 2. Num casal, a mdia das idades  de 30 anos. Se o pai tem 1,82 m e a me, 1,68 m, qual a provvel altura do filho na idade adulta?
 3. Flvio, com 21 anos e 1,78 m de altura, e sua esposa 
  Cludia, com 19 anos e 1,64 m, tiveram uma filha, Juliana. Qual a provvel altura de 
  Juliana aos 18 anos?
 4. Supondo que o p masculino continue crescendo na mesma proporo que cresceu entre 1965 e 1990, qual dever ser, ento, o nmero mdio do calado masculino em 2015?
<R->

<28>
 Retomando o que aprendeu

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. Em um grupo de 20 pessoas, 5 preferem voleibol,
12 preferem futebol e 3 preferem basquete.
Construa uma tabela de dados quanto  preferncia
por esporte desse grupo, bem como a
respectiva porcentagem em relao ao nmero
total de pessoas.
 2. Uma clnica odontolgica possui 5 dentistas.
As idades deles so: 27, 29, 30, 38 e 46 anos.
Qual  a idade mdia dessa equipe?
 
 3. As tabelas seguintes mostram o tempo de
escolaridade de candidatos a uma vaga de vendedor
de uma empresa nos anos 2003 e 2010.

 _`[{duas tabelas "Tempo de escolaridade dos candidatos" adaptadas_`]

<p>
 1 Tabela: 2003
 Legenda:
 1 coluna: Nmero de candidatos
 2 coluna: Tempo de escolaridade (em anos)

 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 8  _ 4  _
 r:::::w:::::w
 l 4  _ 8  _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 11 _
 r:::::w:::::w
 l 3  _ 15 _
 h:::::j:::::j

<p>
 2 Tabela: 2010
 Legenda:
 1 coluna: Nmero de candidatos
 2 coluna: Tempo de escolaridade (em anos)

 !::::::::::
 l 1 _ 2 _
 r:::::w:::::w
 l 10 _ 4  _
 r:::::w:::::w
 l 5  _ 8  _
 r:::::w:::::w
 l 10 _ 11 _
 r:::::w:::::w
 l 12 _ 15 _
 h:::::j:::::j

 Seja M1 a mdia, em anos, do tempo de escolaridade
entre os candidatos de 2003 e M2 a mdia,
em anos, do tempo de escolaridade entre
os candidatos de 2010. Calcule:
 a) M1
 b) M2
 c) M1/M2

<p>
 4. Observe o grfico a seguir.

 Massa de alguns objetos

<F->
Nmero de
objetos

3 r::::::==
   l      
2 r:==   
   l    
1 r:::::::==
   l       
0 v----------
     3   4   6 Massa de cada 
                  objeto (em kg)
<F+>

 Qual a massa mdia desses objetos?
 5. Foram pesquisadas as idades dos frequentadores
do Clube do Bairro e obtiveram-se os
resultados organizados na tabela a seguir.

<p>
 Idade dos frequentadores

 !::::::::::::::::::::
 l Nmero de _ Idade _
 l   pessoas  _        _
 r::::::::::::w::::::::w
 l 11        _ 14    _
 l 30        _ 27    _
 l 26        _ 35    _
 l 5         _ 42    _
 h::::::::::::j::::::::j

 O grfico de setores _`[no adaptado_`] representa a distribuio dada na tabela.
  De acordo com a tabela e com o grfico, determine ^a.

 _`[{o ngulo ^a no grfico de setores corresponde a idade de 14 anos_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

               oooooooooooo

<29>
<p>
 Unidade 2

 Estudando as Potncias e suas 
  Propriedades

 Pra pensar, sem se cansar!

  Se voc lanar uma
moeda, ter dois
resultados possveis:
cara e coroa.

  Agora, pense bem: E se voc lanar trs moedas ao mesmo tempo,
quantos sero os resultados?

 Tantas dobras, quantas partes?

  Esta  fcil: Dobrando uma folha
ao meio, voc a divide em duas partes.
  Esta tambm  fcil: Dobrando ao meio
mais uma vez, voc a divide em quatro partes.

  Agora, responda: E se fosse
possvel dobrar a folha ao meio 
<p>
10 vezes consecutivas, em quantas partes
ela estaria dividida?

  O dimetro de um tomo de hidrognio
mede 0,0000000106 cm.

 Qual nmero  o maior?
 Qual  o menor?

 0,0000001 
 110.000.000
 1107
 10-7

<R+>
 Como escrever nmeros muito 
  grandes ou muito pequenos?
<R->

  A distncia mdia da Terra ao Sol  de 150.000.000 km.

 Fonte: ~,www.universia.com.br~,
  Acesso em: 12 mar. 2009.

  Em um grama de gua h 23.000.000.000.000.000.000.000 de molculas.

               ::::::::::::::::::::::::
<L>
<30>
<R+>
 4 -- Potncia de um nmero real com expoente natural
<R->

 Explorando
 
 _`[{o menino diz_`]
  "Dobre ao meio uma folha de papel sulfite, para obter duas partes de mesmo tamanho. 
  Dobre novamente ao meio, para obter quatro partes de mesmo tamanho.  
  Dobre ao meio uma terceira vez. Em quantas partes a folha ficou dividida?  
  E quantas partes de mesmo tamanho so obtidas na quarta dobra ao meio consecutiva?"

<31>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Se tivssemos uma folha de papel grande e fina o suficiente, que permitisse novas dobras
ao meio, poderamos estabelecer uma relao entre o nmero de dobras ao meio e o nmero
de partes de mesmo tamanho obtidas aps as dobras.
  Acompanhe essa relao na tabela a seguir e complete-a
no caderno.

 _`[{tabela adaptada em trs colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: N.o de dobras ao meio
 2 coluna: N.o de partes de mesmo tamanho obtidas 
 3 coluna: Potncia de 2

 !:::::::::::::::::
 l 1 _ 2 _ 3   _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 1  _ 2  _ 21 _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 2  _ 4  _ 22 _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 3  _ ... _ ...   _
 r:::::w:::::w:::::::w
 l 4  _ ... _ ...   _
 h:::::j:::::j:::::::j

 2. Observe os resultados obtidos na tabela que voc completou. Voc seria capaz de dizer, sem
dobrar a folha, quantas partes de mesmo tamanho obteria com 6 dobras ao meio?
 3. E se dobrarmos uma folha de papel ao meio *n* vezes consecutivas, quantas partes iguais
obteremos?
<R->

  Dado um nmero real *a* e um nmero natural *n*, n=0, a expresso an, denominada
potncia, representa um produto de *n* fatores iguais ao nmero real *a*.

 an=aaaa...a
 aaaa...a -- *n* fatores

  Assim, por exemplo:
<R+>
 o 34=3333=81
 3333 :> 4 vezes

 o `(-2`)5=`(-2`)`(-2`)`(-2`)
  `(-2`)`(-2`)=-32
 `(-2`)`(-2`)`(-2`)`(-2`)`(-2`) :> 5 vezes

<p>
 o `(-16`)3=`(-16`)`(-16`)
  `(-16`)=-1216
 `(-16`)`(-16`)`(-16`) :> 
  3 vezes

 o `(-1,4`)2=`(-1,4`)`(-1,4`)=
  =+1,96
 `(-1,4`)`(-1,4`) :> 2 vezes

 o 101=10
 10 :> 1 vez
<R->

  Na potncia an: o nmero real *a* chama-se base; o nmero natural *n* chama-se expoente.
<R->

 Observao:
 -22=-`(22`)=-4 e `(-2`)2=
  =`(-2`)`(-2`)=+4
 Assim, -22=`(-2`)2.

<32>
 Exerccios

<R+>
 1. Aplicando a definio de potncia, calcule: 
 a) 72
 b) `(-11`)2
<p>
 c) `(-5`)3
 d) `(-25`)2
 e) `(3`)1
 f) `(-12`)5
 g) `(-2,3`)2
 h) -62
 i) 35
 j) `(-0,6`)3

 2. Qual  o valor da expresso numrica a seguir?

 `(-2`)3-`(-1`)2+`(-3`)2-
  -`(-2`)5

 3. Qual  o nmero real resultante da expresso a seguir?

 `(-2`)2-`(-12`)2`(+3`)2+
  +`(-16`)2

 4. O nmero de diagonais de um polgono
pode ser obtido pela expresso algbrica
?n2-3n*2, em que *n* representa o nmero de
lados do pol-
<p>
  gono. Nessas condies, quantas
diagonais tem um polgono de:
 a) 6 lados? 
 b) 10 lados?

 5. Determine o valor de xy.

 x=`[`(-1`)3-`(-1`)5`(-1`)4`]+
  +`(-1`)7
 y=`(-2`)423-42`(-2`)2

 6. Um campeonato de tnis de mesa  disputado
por 20 duplas, que jogam entre si em
turno e returno. O nmero total de jogos nesse
tipo de campeonato  dado pela expresso algbrica
x2-x, em que x representa o nmero de
duplas. Quantos jogos tem esse campeonato?
 7. Verifique se -13  raiz da equao 3x2-2x-1=0.

 8. Usando o sinal = ou =, compare as potncias:
 a) 72 e `(-7`)2
 b) -92 e `(-9`)2
<p>
 c) `(-2`)5 e -25
 d) `(-4`)3 e -43
<R->

 wr Histria

 Em tempos passados...

  J na Antiguidade, os babilnios usavam as potncias como auxiliares da multiplicao, enquanto os gregos tinham uma
especial predileo pelos quadrados e pelos cubos.
  No sculo III da nossa era, o matemtico grego Diofante idealizou as seguintes notaes das potncias:
<R+>
 o x para expressar a primeira potncia;
 o xx para expressar a segunda potncia;
 o xxx para expressar a terceira potncia.
<R->
  No sculo XVII, o pensador e matemtico francs Ren 
 Descartes (1596-1650) introduziu as notaes x, x2, x3, x4, ... para
potncias, notaes essas que usamos at hoje.

<33>
 Hoje em dia...

  Que tal usar a calculadora para calcular potncias?

<R+>
 x2 :> Essa tecla da calculadora  usada para elevar nmeros  segunda potncia ou ao quadrado.
<R->

  Para elevar 10  segunda potncia ou ao quadrado `(102), basta teclar

<R+>
 1 0 x2 e aparecer no visor 100.

 yx :> Essa tecla da calculadora  usada para elevar um nmero a uma potncia de sua escolha.
<R->

  Para elevar 10  terceira potncia ou ao cubo `(103`), basta teclar

<p>
<R+>
 1 0 yx 3 = e aparecer no visor 1000.
<R->

 _`[{o menino diz_`]
  "Lembre-se de
que h algumas
variaes de um tipo
de calculadora
para outro."

 _`[{a menina diz_`]
  "Se a sua
calculadora for do
tipo comum, voc poder
usar a multiplicao
para auxiliar no
clculo de
potncias."

 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. H uma curiosidade no clculo do quadrado, do cubo
e da quarta potncia do nmero 11. Os resultados so nmeros
palndromos. Usando uma calculadora, determine o valor de 112,
113 e 114.
<R->

  Um nmero palndromo 
aquele que no se altera
quando lido da 
<p>
direita para
a esquerda ou da esquerda
para a direita.

<R+>
 2. Investigue, com o auxlio de uma calculadora, se o fato
se repete com a quinta e a sexta potncias do nmero 11.
<R->

<34>
 Propriedades

<R+>
 1 propriedade: Observe a multiplicao com potncias de mesma base:
<R->

 7273=`(77`)`(777`)=
  =77777=75

  Ento, 7273=75. Como 5=2+3, temos: 7273=7?2+3*.
  Como esse fato sempre ocorre quando temos uma multiplicao com potncias de
mesma base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:

  Dado um nmero real *a*, no nulo, e sendo *m* e *n* dois nmeros naturais, ento aman=
 =a?m+n*.

 Exemplos:
<R+>
 o `(0,6`)4`(0,6`)7=
  =`(0,6`)?4+7*=`(0,6`)11
 o `(12`)5`(12`)`(12`)9=
  =`(12`)?5+1+9*=`(12`)15

 2 propriedade: Observe a diviso com potncias de mesma base:

 7573=?77777*
  ?777*=77=72.
<R->

  Ento, 7573=72. Como 2=5-3, temos: 7573=7?5-3*.
  Como esse fato sempre ocorre quando temos uma diviso com potncias de mesma
base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:

  Dado um nmero real *a*, no nulo, e sendo *m* e *n* dois nme-
<p>
ros naturais, ento aman=
 =a?m-n*.

 Exemplos:
<R+>
 o `(1,5`)10`(1,5`)4=
  =`(1,5`)?10-4*=`(1,5`)6         
 o `(23`)9`(23`)=
  =`(23`)?9-1*=`(23`)8          

<35>
 3 propriedade: Observe a potenciao cuja base  uma potncia:

 `(75`)2=7575=7?5+5*=
  =710
<R->

  Ento, `(75`)2=710. Como 10=52, temos: `(75`)2=7?52*.
  Como esse fato sempre ocorre quando temos uma potncia de outra potncia, isso nos
permite escrever a seguinte propriedade:

  Dado um nmero real *a*, no nulo, e sendo *m* e *n* dois nmeros naturais, ento `(am`)n=
 =a?mn*.

 Exemplos:
<R+>
 o `[`(0,5`)4`]3=`(0,5`)?43*=
  =`(0,5`)12
 o ~l`[`(14`)2`]5_,2=
  =`(14`)?252*=`(14`)20

 4 propriedade: Observe a potenciao cuja base  um produto ou um quociente:

 o `(35`)2=`(35`)`(35`)=
  =3535=3355=
  =3252

 o `(27`)2=`(27`)`(27`)=
  =?22*?77*=2272 
<R->

  Da, podemos escrever a seguinte propriedade:

  Dada a potncia `(ab`)n ou `(ab`)n, sendo *a* e *b* dois nmeros reais
no nulos e *n* um nmero natural diferente de 0, temos:

 `(ab`)n=anbn ou `(ab`)n=anbn

 Exemplos:
<R+>
 o `(22353`)2=
  =`(22`)232`(53`)2 ou 243256
 o `(511`)4=54114

<36>
 Exerccios

 1. Aplicando as propriedades das potncias, escreva na forma de uma s potncia:
 a) 2925
 b) 31037
 c) `(1,4`)6`(1,4`)4
 d) `(2,7`)5`(2,7`)
 e) 58554
 f) `(12`)7`(12`)5
 g) (0,1)10(0,1)8(0,1)2
 h) `(53`)7
 i) `[`(1,3`)4`]5
 j) `[`(26`)2`]2

 2. Transforme em um produto de potncias:
 a) `(xy`)3
 b) `(ab2`)2 
 c) `(x3y2`)4
 d) `(a2b5c3`)2
<L>
 3. Aplicando as propriedades das potncias, transforme em uma s potncia as expresses:
 a) x2xx8x3 `(x=0`) 
 b) x12x9 `(x=0`)
 c) `(x5`)4 `(x=0`) 
 d) aa7a2 `(a=0`)
 e) p4p3 `(p=0`)
 f) x10x7x8 `(x=0`)
 g) `[`(x5`)2`]4 `(x=0`)

 4. Responda:
 a) Sendo a=`(32`)3`(33
  32`)4 e b=`(39`)2
  `(3432`)2, qual  o valor de ab?
 b) Quanto  o quadrado do cubo de 25? E o cubo do quadrado de 25?
<R->

  Lembre-se de que o expoente 2
 tambm chamado de quadrado, e
o expoente 3  chamado de cubo.

 c) Quanto  a metade de 210?

<p>
 Expoente zero

  Vamos calcular o quociente de 2525.
<R+>
 o Aplicando a definio, temos: 2525=3232=1.
 o Aplicando a propriedade da diviso de potncias de mesma base, temos: 2525=2?5-
  -5*=20.
<R->
  Comparando os dois resultados, podemos escrever que 20=1, o que ocorre com qualquer
nmero real no nulo.
  De modo geral:

  Para todo nmero real *a*, com a=0, temos a0=1.

  Veja a seguir como podemos, tambm, considerar o expoente zero.
  Observando a ltima coluna da direita, de cima para baixo, notamos que cada nmero
representa a tera parte do nmero anterior:

<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Base _ Expoente _ Potncia  _
 r:::::::w:::::::::::w::::::::::::w
 l 3    _ 5        _ 35=243 _
 l 3    _ 4        _ 34=81  _
 l 3    _ 3        _ 33=27  _
 l 3    _ 2        _ 32=9   _
 l 3    _ 1        _ 31=3   _
 h:::::::j:::::::::::j::::::::::::j

<37>
  Se prosseguirmos com a tabela, incluindo o expoente 0, veja o que ocorre:

<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Base _ Expoente _ Potncia  _
 r:::::::w:::::::::::w::::::::::::w
 l 3    _ 5        _ 35=243 _
 l 3    _ 4        _ 34=81  _
 l 3    _ 3        _ 33=27  _
 l 3    _ 2        _ 32=9   _
 l 3    _ 1        _ 31=3   _
 l 3    _ 0        _ 30=1   _
 h:::::::j:::::::::::j::::::::::::j

<R+>
 81=13 de 243; 27=13 de 81; 9=13 de 27; 3=13 de 9; 1=13 de 3.

 Exerccios

 1. Determine o valor de:
 a) 50 
 b) -50 
 c) `(-5`)0 
 d) -`(-5`)0

 2. Determine o valor numrico de cada expresso:
 a) -50+30-`(-4`)0
 b) ?125*+`(0,17`)0

 3. Calcule o valor numrico da expresso ?20+#,b*
  ?#,d-20*.

 4. Na sequncia de figuras, cada quadrado tem 1 cm2 de rea.
   
<F->
                     y
                     y
                     y  
                     y
            y     yy
            y     yy
     y   yy   yyy
y yy yyy yyyy
<F+>

 Assim:
 o A rea da primeira figura  1 cm2 ou (20) cm2.
 o A rea da segunda figura  3 cm2 ou (20+21) cm2.
 o A rea da terceira figura  7 cm2 ou (20+21+22) cm2.
 o A rea da quarta figura  15 cm2 ou `(20+21+22+
  +23`) cm2.
 Supondo que as prximas figuras da sequncia sigam o mesmo padro, responda:
 a) Como podemos escrever a rea da prxima figura, usando uma adio de potncias de 2?
 b) Usando uma adio de potncias de 2, como podemos escrever a rea da oitava figura da sequncia?
 c) A rea da dcima figura da sequncia ter quantos centmetros quadrados a mais que a rea da nona figura?

 5. Se voc simplificar a expresso 3?`(2x+1`)0*, que resultado vai obter?
<R->

<38>
 Desafio!

  Convide um colega e, juntos, resolvam o desafio a seguir.
  Se lanarmos uma moeda, teremos dois resultados possveis: cara ou coroa.
  Se lanarmos simultaneamente 
<p>
duas moedas, encontraremos quatro resultados possveis:

 1) Cara e cara.
 2) Cara e coroa.
 3) Coroa e cara.
 4) coroa e coroa.

  Se lanarmos simultaneamente trs moedas, teremos oito resultados possveis:

 1) Cara, cara e cara.
 2) Cara, cara e coroa.
 3) Cara, Coroa e coroa.
 4) Cara, coroa e cara.
 5) Coroa, coroa e coroa.
 6) Coroa, coroa e cara.
 7) Coroa, cara e cara.
 8) Coroa, cara e coroa.

<39>
  Prosseguindo dessa forma, podemos estabelecer uma relao entre o nmero de moedas lanadas e o nmero de resultados possveis, como vemos na tabela:

<R+>
 _`[{tabela adaptada_`]
 Legenda:
 1 Coluna: N.o de moedas lanadas
 2 Coluna: N.o de resultados possveis
<R->

 !:::::::::::::::
 l 1 _    2   _
 r:::::w::::::::::w
 l 1  _ 2=21 _
 r:::::w::::::::::w
 l 2  _ 4=22 _
 r:::::w::::::::::w
 l 3  _ 8=23 _
 h:::::j::::::::::j

 Chegou a sua vez!

  Construam no caderno uma tabela como essa, acrescentando o nmero de resultados possveis
no lanamento de 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 moedas.
<R+>
 a) Qual o nmero de resultados possveis no lanamento simultneo de 100 moedas?
<p>
 b) E qual a expresso que representa o nmero de resultados possveis no lanamento de *n* moedas?

               ::::::::::::::::::::::::

 5 -- Potncia de um nmero real com expoente inteiro negativo
<R->

 _`[{a menina diz_`]
  "Vamos calcular o quociente de 2324."

<R+>
 o Considerando o quociente na forma de uma frao:
 2324=?222*?222
  2*=12

 o Aplicando a propriedade do quociente de potncias que tm a mesma base:
 2324=2?3-4*=2-1
<R->

  Comparando os dois resultados, podemos dizer que: 2-1=12.

  Procedendo da mesma forma, podemos mostrar que:
 o 3-1=13
 o 4-1=14
 o 5-1=15

  De modo geral:

  Para todo nmero real *a*, com a=0, temos a-1=1a.

<40>
 Exemplos:
 o 10-1=110
 o `(-3`)-1=1-3=-13
 o `(35`)-1=1~35=53

  Consideramos sempre o inverso da base.

 _`[O menino diz_`]
  "Tenho de calcular o quociente de 2528."

<R+>
 o Considerando o quociente na forma de uma frao:

<p>
 2528=?22222*
  ?22222222*=
  =123=`(12`)3

 o Aplicando a propriedade do quociente de potncias de mesma base: 2528=2?5-8*=
  =2-3 
  Comparando os dois resultados, podemos dizer que:

 2-3=`(12`)3
<R->

  Veja outra maneira de chegar a essa concluso:

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Base _ Expoente _ Potncia _
 r:::::::w:::::::::::w:::::::::::w
 l 2    _ 4        _ 24=16 _
 l 2    _ 3        _ 23=8  _
 l 2    _ 2        _ 22=4  _
 l 2    _ 1        _ 21=2  _
 h:::::::j:::::::::::j:::::::::::j

  Observe a ltima coluna da
direita, de cima para baixo.
Note que cada nmero
representa a metade do
nmero anterior.

  Se considerarmos o expoente zero e os nmeros inteiros negativos 
como expoentes, podemos montar esta outra tabela:

<R+>
 _`[{tabela adaptada obedecendo a sequncia: Base -- Expoente -- Potncia_`]
 2 -- 4 -- 24=16
 2 -- 3 -- 23=8
 2 -- 2 -- 22=4
 2 -- 1 -- 21=2
 2 -- 0 -- 20=1
 2 -- -1 -- 2-1=12
 2 -- -2 -- 2-2=14
 2 -- -3 -- 2-3=18

 8=12 de 16; 4=12 de 8; 2=12 de 4; 1=12 de 2; 12=12 de 1; 14=12 de 12; 18=12 de 14 
 _`[{fim da tabela_`]
<R->

<41>
  Na ltima coluna da tabela, de cima para baixo, temos:
<L>
 !:::::::::::::::::::::::::
 l        20=1         _
 r:::::::::::::::::::::::::w
 l      2-1=12       _
 r:::::::::::::::::::::::::w
 l 2-2=`(12`)2=14 _
 r:::::::::::::::::::::::::w
 l 2-3=`(12`)3=18 _
 h:::::::::::::::::::::::::j

  De modo geral:

  Para todo nmero real *a*, com a=0, temos a-n=1an=`(1a`)n,
sendo *n* um nmero natural diferente de zero.

 Exemplos:
 o 5-2=`(15`)2=125
 o `(-2`)-4=`(-12`)4=116
 o `(-47`)-3=`(-74`)3=
  =-34364 

  Veja a seguir algumas situaes em que esses conhecimentos so aplicados.

<R+>
 1- Determinar o valor da expresso 3-1+2-2-`(-4`)-1.
 3-1+2-2-`(-4`)-1=
 =13+`(12`)2-`(-14`)=
 =13+14+14=
 =412+312+312=
 =1012=56

 2- Calcular o valor de `(9-1+
  +6-2`)-1.
 `(9-1+6-2`)-1=`[19+
  +`(16`)2`]-1=`[19+
  +136`]-1=`[?4+1*36`]-1=
  =`(536`)-1=365

<42>
 3- Para a=0 e x=0, escrever a expresso `(2a3x-1`)-1 com expoentes positivos.
 `(2a3x-1`)-1=`(2a3
  1x`)-1=`(2a3x`)-1=
  =x2a3

 Exerccios 

 1. Observe a sequncia e calcule:
 a) 34 
 b) 33 
 c) 32
 d) 31 
 e) 30 
 f) 3-1 
 g) 3-2
 h) 3-3

 2. Calcule:
 a) 2-1 
 b) 2-5 
 c) `(-2`)-2
 d) -2-4
 e) -`(-4`)-3 
 f) -`(-10`)-1
 g) 10-3
 h) -`(-7`)-2

 3. Calcule:
 a) `(12`)-1
 b) `(12`)-2
 c) `(-13`)-2
 d) `(-14`)-1
 e) `(23`)-1
 f) `(-25`)-2
 g) `(-53`)-3
 h) -`(-16`)-1
<p>
 i) -`(-13`)-2
 j) -`(-32`)-3

 4. Voc sabe que a-n=1an. Tambm podemos dizer que 1an=a-n (propriedade simtrica da
igualdade). Nessas condies, escreva na forma
de potncia com expoente inteiro negativo as
expresses:
 a) 1102
 b) 173
 c) 156
 d) 127
 e) 164
 f) 1108

 5. Calcule:
 a) 12-4
 b) 24-2
 c) 2-37
 d) 2-35-2
 e) 302-5
 f) 9-233

 6. Qual  o valor da expresso?
 
 `(40+4-1`)`(40-4-1`)
<L>
 7. Sabendo que a base  um nmero real no
nulo, simplifique as expresses algbricas dando
a resposta com expoentes inteiros positivos.
 a) `(2x2`)-3 
 b) `(3a2x-1`)-2
 c) `(ab-1c-2`)-1
 d) `(x4y-2`)-3
 e) `(a-2b3`)-1
 f) `(x-2a-1b`)-1

 8. Calcule:
 a) `(-3`)-1+`(-1`)-3
 b) 2-4-22 
 c) `(4-1+2-3`)-1
 d) `(6-232`)-1

 9. Sabendo que a base  um nmero real no
nulo, efetue as operaes indicadas e simplifique
as expresses algbricas:
 a) `(xy-2`)`(x-3y`)
 b) `(a2b-1`)-2`(ab`)-1

<p>
 10. Qual  o nmero real dado pela expresso a seguir?

 20+`(-2`)44-2-`(-2`)3

 11. Simplifique a expresso algbrica a seguir, com a=0 e b=0.
 
 ab-1+ba-1

 12. Calcule o valor da expresso numrica.
 
 ?-22+`(13`)-2*?-24+
  +`(-3`)2+40*

 13. Simplifique a expresso a seguir. Depois d o seu valor numrico quando x=y=3.

 ?x+y-1*?x-y-1*

<43>
<p>
 Propriedades das potncias com expoentes inteiros
<R->

  As mesmas propriedades estudadas para as potncias com expoentes naturais valem
para as potncias com expoentes inteiros e base real no nula.
  Assim, vamos considerar as propriedades a seguir.

<R+>
 1 propriedade: Para multiplicao de potncias de mesma base, aman=a?m+n*.

 Exemplos:
 o 525-6=5?2+`(-6`)*=
  =5?2-6*=5-4
 o 10-310-2=10?-3+
  +`(-2`)*=10?-3-2*=10-5
 o 2n23=2?n+3*, sendo *n* um nmero inteiro.

 2 propriedade: Para diviso de potncias de mesma base, aman=a?m-n*.

 Exemplos:
 o 6467=6?4-7*=6-3
 o 10310-2=10?3-`(-2`)*=
  =10?3+2*=105
 o 2-52-7=2?-5-`(-7`)*=
  =2?-5+7*=22
 o 3?n-2*3?n+1*=
  =3?n-2-`(n+1`)*=
  =3?n-2-n-1*=3-3, sendo *n* um nmero inteiro

 3 propriedade: Para potncia de uma potncia, `(am`)n=a?mn*.

 Exemplos:
 o `(103`)-2=10?3`(-2`)*=
  =10-6
 o `(5-1`)-3=5?`(-1`)`(-3`)*=
  =53
 o `(10x`)5=10?x5*=105x, sendo x um nmero inteiro

 4 propriedade: Para transformar potncia de um produto em um produto de potncias, e potncia
de um quociente em um quociente de potncias: `(ab`)n=anbn e `(ab`)n=anbn.
<L>
 Exemplos:
 o `(25`)-4=2-45-4
 o `(72`)-3=7-32-3
 o `(10x`)-2=10-2x-2
 o `(x5`)-1=x-15-1, com x=0

<44>
 Exerccios

 1. Transforme em uma s potncia:
<R->

  Lembre-se: aqui a base 
sempre um nmero real
no nulo.

<R+>
 a) 797-6
 b) 10-910105
 c) 838-6
 d) x3x-5x4
 e) a8a-8a-1

 2. Continue a transformar em uma s potncia:
 a) 6465
 b) 272-2
 c) 7-47-1
 d) 10-310-5
 e) x6x-2
 f) a9a11

 3. Transforme em uma s potncia:
 a) `(6-1`)4
 b) `(106`)-2
 c) `(5-1`)-3
 d) `(x6`)-2

 4. Transforme em um produto de potncias:
 a) `(511`)-2
 b) `(3102`)-1
 c) `(2-454`)-2
 d) `(7-1x`)-3

 5. Transforme em um quociente de potncias:
 a) `(83`)-2
 b) `(38`)-2
 c) `(6-25`)-4
 d) `(7-22-1`)-3

 6. Escreva no caderno cada uma das igualdades
e identifique-as como verdadeira ou falsa:
<p>
 a) `(2575`)=`(27`)5
 b) xx2=x-1
 c) x5y10=`(xy5`)5
 d) xy-1=`(x-1y`)-1

 7. Sabendo que a=10-7, b=1011 e c=10-4, determine:
 a) ab
 b) ac
 c) bc
 d) abc

 8. Qual  a forma mais simples de escrever a
expresso a?2n-1*a?n+1*, sendo a=0 e *n* um nmero
inteiro?

 9. Escreva no caderno cada uma das expresses com expoente positivo:
 a) `(5-5`)2
 b) 232-5
 c) 5254
 d) `(102`)-3
 e) 1`(xy`)-2
 f) 6-463
 g) ?33-5*32
 h) `(2-1`)-5`(23`)-2

 10. Sendo x um nmero inteiro, escreva na forma de uma s potncia cada uma das expresses:
 a) 2x23
 b) 7x73
 c) `(5x`)3
 d) 83x8-2x
 e) 103x10-2x
 f) 7x7?x+3*
 g) 2n2?n-1*
 h) `(22`)?x-1*
 i) 3?x+1*3?x-1*
 j) 10?x+3*10x

 11. Qual  a forma mais simples de escrever
cada uma das seguintes expresses, sendo x um
nmero real no nulo? 
 a) `(x2x-3`)2
 b) `(x-3x`)-1
 c) `(x?n+1*x?2-n*`)-2

 12. Sendo *a*, x e y nmeros reais, com a=0,
se ax=ay, ento podemos concluir que x=y.
Na equao a seguir, simplifique ao mximo os
dois membros e, utilizando a propriedade anterior,
determine o valor de *n*.

 5?2n+1*5?3-n*=`(5n`)5
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Primeira Parte